Lernspiel: Prozente, Zinsen, Zinseszins & Wahrscheinlichkeit

Grundlagen: Prozentrechnung

Was sind Prozente?

"Prozent" bedeutet "von Hundert" oder "Hundertstel". Das Symbol für Prozent ist %. Wenn wir also sagen "50%", meinen wir 50 von 100, oder als Bruch $$\\frac{50}{100}$$, was gekürzt $$\\frac{1}{2}$$ ist. Prozente helfen uns, Anteile und Verhältnisse verständlich darzustellen und zu vergleichen.

Interaktive Beispiele: Prozentwert berechnen

Der Prozentwert (W) ist der Teil eines Grundwerts (G), der einem bestimmten Prozentsatz (p) entspricht.

Formel: $$W = G \\cdot \\frac{p}{100}$$

Grundwert (G):

Prozentsatz (p%):

Interaktive Beispiele: Prozentsatz berechnen

Der Prozentsatz (p) gibt an, welcher Anteil der Prozentwert (W) vom Grundwert (G) ist.

Formel: $$p = \\frac{W}{G} \\cdot 100$$

Prozentwert (W):

Grundwert (G):

Übungsaufgabe: Prozente

Dein Ergebnis in €:

Einfache Zinsen

Was sind einfache Zinsen?

Einfache Zinsen sind eine Form der Verzinsung, bei der Zinsen nur auf das ursprüngliche Kapital (den Anlagebetrag) berechnet werden. Die Zinsen, die in früheren Perioden verdient wurden, werden nicht mitverzinst. Das Kapital bleibt also über die gesamte Laufzeit gleich, was die Zinsberechnung vereinfacht.

Interaktives Beispiel: Einfache Zinsen berechnen

Die Formel für einfache Zinsen (Z) ist:

$$Z = K \\cdot p_{dezimal} \\cdot t$$

K: Kapital (Anfangsbetrag)
$$p_{dezimal}$$: Zinssatz pro Jahr als Dezimalzahl (z.B. 5% = 0.05)
t: Zeit in Jahren

Kapital (K) in €:

Jährlicher Zinssatz (p%):

Laufzeit (t) in Jahren:

Übungsaufgabe: Einfache Zinsen

Zinsen in €:

Endkapital in €:

Zinseszins

Was ist Zinseszins?

Beim Zinseszins werden nicht nur Zinsen auf das ursprüngliche Kapital gezahlt, sondern auch auf die bereits angesammelten Zinsen aus früheren Perioden. Das bedeutet, die Zinsen werden "mitverzinst", was zu einem schnelleren Wachstum des Kapitals führt – der sogenannte Zinseszinseffekt. Je länger das Geld angelegt ist und je häufiger die Zinsen gutgeschrieben werden, desto stärker wirkt sich der Zinseszinseffekt aus.

Interaktives Beispiel: Zinseszins berechnen

Die Formel für das Endkapital ($$K_n$$) nach n Perioden mit Zinseszins ist:

$$K_n = K_0 \\cdot (1 + p_{dezimal})^n$$

$$K_n$$: Endkapital nach n Perioden
$$K_0$$: Anfangskapital
$$p_{dezimal}$$: Zinssatz pro Periode als Dezimalzahl (z.B. 5% = 0.05)
n: Anzahl der Perioden (z.B. Jahre)

Anfangskapital ($$K_0$$) in €:

Jährlicher Zinssatz (p%):

Anzahl der Perioden (n) (z.B. Jahre):

Übungsaufgabe: Zinseszins

Endkapital in € (auf 2 Nachkommastellen runden):

Grundlagen: Wahrscheinlichkeit

Was ist Wahrscheinlichkeit?

Wahrscheinlichkeit ist ein Maß dafür, wie plausibel oder wie häufig ein bestimmtes Ereignis eintritt. Sie wird oft als Zahl zwischen 0 und 1 (oder als Prozentsatz zwischen 0% und 100%) ausgedrückt. Eine Wahrscheinlichkeit von 0 bedeutet, dass ein Ereignis unmöglich ist, während eine Wahrscheinlichkeit von 1 (oder 100%) bedeutet, dass ein Ereignis sicher eintritt.

Die grundlegende Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E (Laplace-Wahrscheinlichkeit) ist:

$$P(E) = \\frac{\\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\\text{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}}$$

Ereignis (E): Ein bestimmter Ausgang oder eine Menge von Ausgängen, die uns interessieren (z.B. "eine 6 würfeln").
Ergebnisraum (Ω): Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments (z.B. beim Würfeln mit einem Standardwürfel: {1, 2, 3, 4, 5, 6}).
Günstige Ergebnisse: Die Ergebnisse im Ergebnisraum, die zum Ereignis E gehören.

Interaktives Beispiel: Würfelwurf

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem fairen sechsseitigen Würfel eine bestimmte Augenzahl zu würfeln?

Gewünschte Augenzahl (1-6):

Übungsaufgabe: Wahrscheinlichkeit

Deine Antwort (als Dezimalzahl, z.B. 0.5, oder Bruch, z.B. 1/2):

Quiz-Time! Teste dein Wissen

Hier kannst du dein gelerntes Wissen testen. Viel Erfolg!